Revisão Histórica.¶
Tópicos:
- Galileu (1564-1642) - Ideias sobre quantidades conservadas(ímpeto).
- Newton (1643-1727) - Não toca no assunto Energia, Princípia 1713 - 1726
- Seguidores de Decarter (Anos iniciais de 1700) - Momento = Energia?
- Leibniz (1646-1716) - Demonstra que Energia vai com v²
- Gaspard de Coriolis (1792-1843) - Comecemos por aqui.
* No SC Cartesiano 2D, $d\vec{l}=dx\;\hat{x}+dy\;\hat{y}$¶
* No SC Polar, $d\vec{l}=dr\;\hat{r}+r\;d\theta \;\hat{\theta}$¶
* Sobre uma circunferência vale, $d\vec{l}=R\;d\theta \hat{\theta}$¶
Como usar essa proposição?
Agora devemos somar todas as contribuições infinitesimais ao longo da trajetória, ou seja devemos integrar no caminho da trajetória.
$$W=\int_c\;\vec{F}\cdot d\vec{l}$$¶
Essa definição crua deve ser avaliada caso a caso conforme a força e a tranjetória.
Exemplo trivial: Trabalho realizado por uma mola. ¶
Podemos escolher o zero do eixo x sobre o ponto de equilíbrio da mola, $x_0=0$, então $\vec{F}(x)=-k\;x\hat{x}$ e $d\vec{l}=dx\;\hat{x}$.
Então trata-se de um movimento 1D, em linha reta, então a integral de caminho fica reduzida a uma integral convencional,
$$ W_{mola}=\int_{x_i}^{x_f}\; -k\; x\; dx=-\frac{1}{2}k\;x^2|_{x_i}^{x_f}=\frac{1}{2}k\;x_i^2-\frac{1}{2}k\;x_f^2$$¶
Função do produto escalar no trabalho de uma força.¶
Apenas a componente da força que está na mesma direção do caminho realiza trabalho.
Nada muda de fato, mas isso mostra de forma mais clara qual parte da ação realiza trabalho.
$$dW=F_\parallel\;dl$$ ¶
Essa informação facilita a resolução de diversos problemas.
Exemplo (quase) trivial: Forças em um plano inclinado rígido. ¶
Considere um bloco empurrado para cima em um plano inclinado sem atrito. O plano tem inclinação $\theta$ em relação a horizontal e a força adicional é exercida com uma direção $\phi$ em relação a horizontal.
Para cada força presente no corpo, encontre a componente paralela ao movimento:
#Figura do plano com as forças e um sistema de coordenadas pouco vantajoso.
fig
Primeira solução, só usa matemática (Geometria e Cálculo). $\hat{r}$ ¶
Colocado nesses termos, $d\vec{l}=dx\;\hat{i}+dy\;\hat{j}$. Mas claramente essa é uma curva $y(x)=tg(\theta)\;x+c$.
Portanto,
$$d\vec{l}=dx\;\hat{i}+tg(\theta)dx\;\hat{j}=(\hat{i}-tg(\theta)\hat{j})dx$$Agora temos de encontrar o vetor unitário paralelo a $d\vec{l}$. Para isso podemos dividir o vetor ai de cima pela norma (alunos devem fazer).
$$\hat{l}=cos(\theta)\hat{i}-sen(\theta)\hat{j}$$¶
Agora vamos ver o que ocorre para cada força.¶
Peso¶
- $\vec{P}=-P\;\hat{j}\Rightarrow -P\;\hat{j}\cdot (cos(\theta)\hat{i}-sen(\theta)\hat{j})\Rightarrow $
$$P_\parallel=P\;sen(\theta)$$¶
Normal¶
- $\vec{N}=N\;sen(\theta)\hat{i}+N\;cos(\theta)\hat{j}\Rightarrow N(sen(\theta)\hat{i}+cos(\theta)\hat{j})\cdot (cos(\theta)\hat{i}-sen(\theta)\hat{j})=0$
$$N_\parallel =0$$¶
Força aplicada (nesse momento pouco importa se é ou não constante).¶
- $\vec{F}=-F\;cos(\phi)\hat{i}+F\;sen(\phi)\hat{j}\Rightarrow$
$F(-cos(\phi)\hat{i}+sen(\phi)\hat{j})\cdot(cos(\theta)\hat{i}-sen(\theta)\hat{j})\Rightarrow$
$F_\parallel=-F(cos(\phi)cos(\theta)+sen(\phi)sen(\theta))= - F\;cos(\theta-\phi)$
$$F_\parallel=- F\;cos(\theta-\phi)$$¶
Vamos modificar o sistema de coordenadas para um que se acopla ao plano inclinado e ver o que mudará no problema.¶
#Diagrama de corpo livre, e um sistema de coordenadas vantajoso.
fig
Segunda solução quase integralmente baseada no desenho. ¶
$d\vec{l}=dx\hat{x}$, então a direção em que deve ocorrer a projeção é $\hat{x}$.¶
- Imediatamente temos que por $\vec{N}=N\hat{y}\Rightarrow$
$$N_\parallel=0$$¶
- Para o peso
$\vec{P}=P\;sen(\theta)\hat{x}-P\;cos(\theta)\hat{y}$,
imediatamente se obtém
$$P_\parallel=P\;sen(\theta)$$¶
Teorema trabalho e Energia Cinética como corolário da 2ª Lei de Newton.$ ¶
Da segunda Lei de Newton,
$$\vec{F}=m\;\vec{a}\quad.$$Vamos aplicar essa força continuamente ao longo de uma trajetória qualquer,
Usando a segunda Lei de Newton dentro do conceito de trabalho de uma força,
$$dW= \vec{F}\cdot d\vec{l}=m\;\vec{a}\cdot d\vec{l}\quad,$$¶
mas note que $\frac{d\vec{l}}{dt}=\vec{v}$, então $d\vec{l}=\vec{v}dt$, portanto,¶
$$\vec{a}\cdot d\vec{l}=\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot \vec{v}dt=\vec{v}\cdot d\vec{v}$$O produto $\vec{v}\cdot d\vec{v}$ parece suspeito, ele parece a parte de uma derivada do produto.
$$d(\vec{v}\cdot \vec{v})=\vec{v}\cdot d(\vec{v})+d(\vec{v})\cdot \vec{v}= 2 \vec{v}\cdot d\vec{v}\quad,$$Mas $\vec{v}\cdot \vec{v}=v^2$, então
$$\frac{d(v^2)}{2}=\vec{v}\cdot d\vec{v}\quad \Rightarrow \quad \vec{a}\cdot d\vec{l}=\frac{1}{2}d(v^2)\quad,$$¶
Concluimos que,
$$dW= \vec{F}\cdot d\vec{l}=\frac{m}{2}d(v^2)$$¶
Agora devemos somar todas as contribuições infinitesimais ao longo da trajetória, ou seja devemos integrar no caminho da trajetória.
$$W=\int_c\;\vec{F}\cdot d\vec{l}=\frac{m}{2}\int_c\;d(v^2)=\frac{1}{2}m\;v_f^2-\frac{1}{2}m\;v_i^2$$¶
Definimos a Energia Cinética (kinetic energy),
$K=\frac{1}{2}m\;v^2\quad,$¶
Portanto,